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集合Xの２つの部分集合族 、
について、
を証明せよ。
２．fを集合Xから集合Yへの全射とする。Xの任意の２つの元x1,x2についてx1～x2をf(x1)=f(x2)と定めるとき、つぎの問いに答えよ。
(1)～はX上の同値関係であることを証明せよ。
　
(ⅰ)x～x
⇔f(x)=f(x)
(ⅱ)x1～x2
⇔f(x1)=f(x2)
⇔f(x2)=f(x1)
(ⅲ)x1～x2かつx2～x3
⇔f(x1)=f(x2)かつf(x2)=f(x3)
⇔f(x1)=f(x3)
∴x1～x3
以上(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)より、～はX上の同値関係である。
(2)｜X／～｜=｜Y｜を証明せよ。
C(a)をaを含む同値類とすると、
X／～=
　　　=
　　　=
したがって、XからX／～への商写像はfと一致する。さらにfが全射より、f(X)=Yとなり、Yは商集合となる。
３．無理数全体の集合Pについて、 を証明せよ。
P=無理数、　Q=有理数、　R=実数とする。
前提として、|R|＞アレフゼロ、|Q|=アレフゼロとする。
|P|=アレフゼロと仮定すると・・・・※
P={p1,p2,p3,…}
Q={q...

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